一般要求

考生應(yīng)按照本大綱的要求，了解或理解高等數(shù)學(xué)中函數(shù)與極限、一元函數(shù)的微分學(xué)、一元函數(shù)的積分學(xué)、多元函數(shù)的微分學(xué)、無窮級(jí)數(shù)的基本概念和理論。學(xué)習(xí)、掌握或掌握以上各部分的基本方法。要注意知識(shí)各部分的結(jié)構(gòu)和知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；應(yīng)具備一定的抽象思維、邏輯推理、計(jì)算和想象力介于空之間的能力；能運(yùn)用基本概念、基本理論、基本性質(zhì)、基本方法進(jìn)行推理計(jì)算；能夠綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。本大綱要求由低到高，概念和理論分為“理解”和“認(rèn)識(shí)”兩個(gè)層次；方法和操作分為“知道”、“掌握”、“掌握”三個(gè)層次。

一、函數(shù)、極限和連續(xù)性

(a)職能

1.知識(shí)范圍

(1)函數(shù)的概念:函數(shù)的定義、函數(shù)的表示、分段函數(shù)；

(2)函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì):單調(diào)性、宇稱性、有界性、周期性；

(3)反函數(shù):反函數(shù)的定義和形象；

(4)函數(shù)的四次運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算；

(5)基本初等函數(shù):冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)；

(6)初等函數(shù)。

2.要求

(1)理解函數(shù)的概念，求出函數(shù)的定義域、表達(dá)式、函數(shù)值、值域，求出分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值，作出簡(jiǎn)單的分段函數(shù)圖像；

(2)理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性、宇稱性、有界性和周期性，會(huì)判斷給定函數(shù)的范疇；

(3)了解函數(shù)y=f(x)與其反函數(shù)y=f-1(x)的關(guān)系(定義域、值域、鏡像)，求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)；

(4)理解和掌握函數(shù)的四次運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算，熟練掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程；

(5)掌握基本初等函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)和圖像；

(6)理解初等函數(shù)的概念。

(2)限制

1.知識(shí)范圍

(1)數(shù)列極限的概念:數(shù)列和數(shù)列極限的定義；

(2)數(shù)列極限的性質(zhì):唯一性、有界性、符號(hào)保持、不等式保持、四個(gè)運(yùn)算定理、pinching定理、單調(diào)有界定理、數(shù)列極限存在定理；

(3)函數(shù)極限的概念:函數(shù)在一點(diǎn)的極限定義了左右極限及其與極限的關(guān)系，以及當(dāng)X趨于無窮時(shí)函數(shù)極限的幾何意義(x→∞，x→+∞，X→-∞)；

(4)函數(shù)極限定理:唯一性定理、局部保號(hào)定理、pinching定理、單調(diào)有界定理、四個(gè)運(yùn)算定理、復(fù)合函數(shù)極限定理；

(5)無窮小量和無窮小量:無窮小量和無窮小量的定義，無窮小量和無窮小量的關(guān)系，無窮小量和無窮小量的性質(zhì)，兩個(gè)無窮小量的比較；

(6)兩個(gè)重要的極限。

2.要求

(1)理解極限的概念(極限定義中對(duì)“ε-N”、“ε-δ”和“ε-M”的描述沒有要求)，根據(jù)極限的概念分析函數(shù)的變化趨勢(shì)，找出函數(shù)在一點(diǎn)的左右極限，了解極限在一點(diǎn)存在的充要條件；

(2)了解極限的相關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四種算法和復(fù)合函數(shù)的極限規(guī)則；

(3)理解無窮小量和無窮小量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)，理解無窮小量和無窮小量的關(guān)系，比較無窮小量的階次(高階、低階、同階、等價(jià))，熟練運(yùn)用等價(jià)無窮小量代換求極限；

(4)掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。

(3)連續(xù)性

1.知識(shí)范圍

(1)函數(shù)連續(xù)性的概念:函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充要條件，函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類；

(2)函數(shù)在一點(diǎn)上的連續(xù)性:連續(xù)函數(shù)的四次運(yùn)算，復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性；

(3)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界性定理、最大最小值定理、中間值定理(包括零點(diǎn)定理)；

(4)初等函數(shù)的連續(xù)性。

2.要求

(1)了解函數(shù)在一點(diǎn)上的連續(xù)性和不連續(xù)性的概念，掌握簡(jiǎn)單函數(shù)(包括分段函數(shù))在一點(diǎn)上的連續(xù)性，了解函數(shù)在一點(diǎn)上的連續(xù)性與極限存在的關(guān)系；

(2)會(huì)發(fā)現(xiàn)函數(shù)的不連續(xù)性，確定其類型；

(3)掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，利用中值定理證明相關(guān)命題；

(4)為了理解初等函數(shù)的連續(xù)性，我們將利用函數(shù)的連續(xù)性來求極限。

二、一元函數(shù)微分學(xué)

(a)導(dǎo)數(shù)和微分

1.知識(shí)范圍

(1)導(dǎo)數(shù)的概念:導(dǎo)數(shù)、左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；

(2)求導(dǎo)法則及求導(dǎo)的基本公式，求導(dǎo)的四種運(yùn)算，反函數(shù)求導(dǎo)及求導(dǎo)的基本公式；

(3)求導(dǎo)方法:復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法、參數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo)法、分段函數(shù)求導(dǎo)法；

(4)高階導(dǎo)數(shù)的概念:高階導(dǎo)數(shù)的定義和計(jì)算；

(5)微分:微分的定義，微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，微分規(guī)律，一階微分形式的不變性。

2.要求

(1)理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，理解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，通過定義找到函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；

(2)將求曲線上某一點(diǎn)的切線方程和法向方程；

(3)掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式，四大算術(shù)規(guī)則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法，你會(huì)發(fā)現(xiàn)反函數(shù)的求導(dǎo)；

(4)掌握對(duì)數(shù)求導(dǎo)法和參數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo)法，會(huì)求出分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

(5)理解高階導(dǎo)數(shù)的概念會(huì)發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單函數(shù)的N階導(dǎo)數(shù)；

(6)了解函數(shù)的微分概念，掌握微分規(guī)律，了解可微性與可微性的關(guān)系，求函數(shù)的一階微分。

(2)中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1.知識(shí)范圍

(1)中值定理:羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

(2)洛必達(dá)定律；

(3)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法；

(4)函數(shù)極值與極值點(diǎn)、最大值與最小值；

(5)曲線和拐點(diǎn)的凹與凹。

2.要求

(1)理解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及其幾何意義，用羅爾中值定理證明方程根的存在性，用拉格朗日中值定理或柯西中值定理證明簡(jiǎn)單不等式或方程；

(2)掌握L 'Bida定律，你會(huì)發(fā)現(xiàn)“0/0”、“∞/∞”、“0∨”、“∞-∞”、“1∨”、“0∨”和“00”的待定形式的極限；

(3)掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，求出函數(shù)單調(diào)遞增遞減區(qū)間，利用函數(shù)單調(diào)性證明簡(jiǎn)單不等式；

(4)理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)極值和最大值的方法，會(huì)解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題；

(5)會(huì)判斷曲線的凹凸性質(zhì)，找到曲線拐點(diǎn)的坐標(biāo)。

3.一元函數(shù)的積分學(xué)

(a)不定積分

1.知識(shí)范圍

(1)不定積分的概念:原函數(shù)和不定積分的定義，原函數(shù)的存在定理和不定積分的性質(zhì)；

(2)基本積分公式；

(3)轉(zhuǎn)換積分法的靠前種代換法(微分法)和第二種代換法；

(4)部分集成。

2.要求

(1)理解原函數(shù)與不定積分的概念和關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)，理解原函數(shù)的存在定理；

(2)掌握不定積分的基本公式；

(3)掌握不定積分的靠前代換法和第二代換法；

(4)掌握不定積分的分部積分；

(5)可以得到簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分。

(2)定積分

1.知識(shí)范圍

(1)定積分的概念:定積分的定義及其幾何意義；

(2)定積分的性質(zhì)；

(3)定積分的計(jì)算:變上限定積分、牛頓-萊布尼茨公式、轉(zhuǎn)換積分法、分部積分；

(4)無限區(qū)間的廣義積分。

2.要求

(1)理解定積分的概念和幾何意義；

(2)掌握定積分的基本性質(zhì)；

(3)理解變上限定積分是變上限的函數(shù)，掌握變上限定積分的求導(dǎo)方法；

(4)掌握牛頓-萊布尼茨公式；

(5)掌握轉(zhuǎn)換積分法和定積分的分部積分；

(6)理解無窮區(qū)間廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。

第四，無窮級(jí)數(shù)

(一)系列號(hào)

1.知識(shí)范圍

(1)數(shù)列:數(shù)列的概念，斂散性數(shù)列的基本性質(zhì)，數(shù)列收斂的必要條件；

(2)正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別:比較判別、比率判別、根值判別；

(3)一般項(xiàng)級(jí)數(shù):交錯(cuò)級(jí)數(shù)、絕對(duì)收斂、條件收斂。

2.要求

(1)了解級(jí)數(shù)斂散性的概念，掌握級(jí)數(shù)收斂的必要條件，了解級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)；

(2)掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法、比值判別法、根判別法，用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法判斷級(jí)數(shù)的斂散性；

(3)掌握幾何級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)、P級(jí)數(shù)的斂散性；

(4)為了理解級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂的概念，我們將使用扎布尼茨判別法來判斷級(jí)數(shù)的斂散性。

(2)冪級(jí)數(shù)

(1)冪級(jí)數(shù)概念:收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域；

(2)冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)；

(3)將簡(jiǎn)單初等函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)。

2.要求

(1)理解冪級(jí)數(shù)的概念；

(2)了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和、差、逐項(xiàng)導(dǎo)數(shù)、逐項(xiàng)乘積)；

(3)掌握求冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域的方法；

(4)利用ex，sinx，cosx，ln(1+x)，l/(1-x)的麥克勞克林級(jí)數(shù)，將一些簡(jiǎn)單的初等函數(shù)展開為x或x-x0的冪級(jí)數(shù)。

試卷總分:150分

考試時(shí)間:150分鐘

試卷內(nèi)容比例

函數(shù)、極限、連續(xù)性約30%，一元函數(shù)的微分學(xué)約30%，一元函數(shù)的積分學(xué)約30%，無窮級(jí)數(shù)約10%。

試題比例

選擇題15%左右，空題25%左右，計(jì)算題40%左右，綜合題20%左右。

試題難度比

容易題40%左右，中等難度題50%左右，難題10%左右。

主要參考書

《高等數(shù)學(xué)》第七版靠前卷、第二卷，同濟(jì)大學(xué)主編，高等教育出版社。

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